已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 14:44:31
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足： (1)对于任意x属于[0,1],总有f(x)>=0 (2)f(1)=1 (3)若x1>=0,x2>=0,x1+x2<=1 则有f(x1+x2)>=f(x1)+f(x2) 问题如下：(1)试求f(0)的值 (2)试求函数f(x)的最大值 (3)试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x都有f(x)<=2x 现在前两题已经解出，不需要再做了。我要的只是第三题的解答。我已解出：f(0)=0, [f(x)]max=f(1)=1 希望能写的清楚一点，别跳太多的步骤，谢！ 今天九点前截止哈！

借助前面条件和结论，（1）先证明在[0,1]上，f(x)递增。设0≤x1＜x2≤1.===>0<x2-x1<1.===>f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1).===>f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)≥0.===>f(x1)<f(x2).===>证毕。（2）当1/2≤x≤1时，===>1≤2x≤2.又f(x)≤f(1)=1≤2x.===>f(x)≤2x.(1/2≤X≤1).(3)当0≤x＜1/2时，用反证法。若不然，则有f(x)>2x.(0≤x<1/2).1=f(1)≥f(1/2)=f[(0.5-x)+x]≥f(0.5-x)+f(x)＞2(0.5-x)+2x=1.===>1>1.矛盾。故0≤x<1/2时，仍有f(x)≤2x.综上知，命题真。

(3)f(1/2)=f(1)/2=1/2 f(1/4)=f(1/2)/2=1/4
假设f(x)=x成立
又f(x)=f(x/2)+f(x/2)=x/2+x/2=x
所以假设是成立的，f(x)=x
所以在区间[0,1]上,f(x)=x≤2x